Il nostro modello principale è una legge di proporzione con termini logaritmici periodici, espressa nella base del logaritmo naturale:
ln P = A + β·ln(t) + Σ Cₖ·cos(ωₖ·ln(t) + φₖ)
Dove P è il prezzo, t è l’età di Bitcoin dalla sua creazione, β ≈ 5,7 e i termini coseno catturano oscillazioni logaritmiche periodiche con un fattore di scala λ ≈ 2,01. La legge di proporzione rappresenta la traiettoria inerziale, ovvero la geodetica. I termini logaritmici periodici sono le oscillazioni attorno ad essa. In genere, due termini di oscillazione sono sufficienti: una fondamentale di ω = 9,01 corrispondente al valore di λ (si pensi alle bolle e ai minimi che si separano con intervalli di tempo più lunghi, circa il doppio tra una bolla e l’altra), e un’armonica sintetica a frequenza più elevata.
Grafico in scala log₁₀ × log₁₀ con 5 curve per k diversi. Ogni curva è la traiettoria che emerge quando si identifica le coordinate come P^(1/k) ~ t lineare e si riproietta in spazio log-log.
Il messaggio geometrico è immediato: le curve con k sbagliato (3.0, 4.5, 6.5, 8.0) curvano verso l’alto o verso il basso — non sono rette in questo spazio. Solo k=5.7 produce la curva che attraversa i dati con la pendenza costante di una vera legge di proporzione, confermando che β=5.7 non è un parametro di fit ma la metrica naturale del sistema — la geodetica.
Test 2 in 6 pannelli:
Riga superiore — Prezzo + regime: sfondo rosso nei periodi LP>0 (2011, 2013, 2017, 2021, 2024) e blu nei periodi LP<0 — coincide esattamente con le fasi di accelerazione e consolidamento storiche.
Riga centrale — Γ nel tempo + distribuzione: le barre rosse scure sono gli eventi di curvatura estrema concentrati nelle fasi LP>0. La distribuzione mostra code più pesanti per LP>0.
Riga inferiore: il confronto barre usa i valori del paper (1601 vs 1025, rapporto 1.56x, std doppia). Il pannello centrale mostra la componente LP nel tempo. Il clustering conferma che gli eventi estremi di Γ si addensano nei periodi di ciclo espansivo.
Nota: con i dati storici campionati mensilmente il calcolo numerico di Γ con differenze finite su pochi punti non riproduce esattamente i valori del paper (che usa 846 osservazioni settimanali giornaliere reali) — per questo i pannelli analitici usano i valori riportati direttamente.
Mettendo insieme i due test, emerge una struttura coerente. Il test 1 stabilisce che esiste un sistema di coordinate — definito dalla legge di proporzione ancorata a Genesis con β ≈ 5,7 — in cui Bitcoin esegue un moto inerziale rettilineo. Questa è la geodetica, il sistema di coordinate naturale.
Il test 2 stabilisce che le deviazioni da tale geodetica non sono casuali. Sono strutturate dalla fase log-periodica, che agisce come un campo di curvatura che modula l’intensità della deviazione geometrica. Fase positiva = alta energia di curvatura = instabilità. Fase negativa = bassa energia di curvatura = stabilità.
Il modello completo è quindi:
Bitcoin = moto quasi geodetico in uno spazio logaritmico + un campo di energia di curvatura dipendente dalla fase
La legge di proporzione rappresenta la geometria. La struttura log-periodica rappresenta la dinamica all’interno di tale geometria. E il proxy della connessione affine ci fornisce un modo per misurare, empiricamente, quanto il sistema si discosti dal suo percorso inerziale in un dato momento.
